秩和檢驗

　　用秩號代替原始數(shù)據(jù)后，所得某些秩號之和，稱為秩和，用秩和進行假設檢驗即為秩和檢驗。其檢驗假設在兩組比較（成對或不成對)時，H₀：F（X₁)=F（X₂)，即兩總體的分布函數(shù)相等，備擇假設H₁：F（X₁)≠F（X₂)。本法由于部份地考慮了數(shù)據(jù)的大小，故檢驗效力較符號檢驗大大提高。至于其方法、步驟，不論是查表法或計算法、也都相當簡便，現(xiàn)舉例說明如下。

　　一、成對資料的比較

　　此法由Wilcoxon氏首次提出，故又稱Wilcoxon氏法。

　　處理時可用查表法或計算法，今以例10.3分別說明如下。

　　查表法步驟：

　　1．排隊，將差數(shù)按絕對值從小至大排列并標明原來的正負號，見表10.3第（5)欄，排隊后與原豚鼠號已無對應關系。

　　2．編秩號，成對資料編秩號時較為復雜，要注意三點：

　　（1)按差數(shù)的絕對值自小至大排秩號，但排好后秩號要保持原差數(shù)的正負號；

　�。�2)差數(shù)絕對值相等時，要以平均秩號表示，如表10.3中差數(shù)絕對值為4者共三人，其秩號依次應為2、3、4，現(xiàn)皆取平均秩號3；

　�。�3)差數(shù)為0時，其秩號要分為正、負各半，若有一個0，因其絕對值最小，故秩號為1，分為0.5與-0.5，若有兩個0，則第二個0的秩號為2，分為1與-1等等。

　　3．求秩號之和即將正、負秩號分別相加，本例得正秩號之和為68，負秩號之和為10，正負秩號絕對值之和應等于1/2n(n+1)，可用以核對，如本例68+10=12/1（12+1)=78，證明秩號計算正確。

　　4.以較小一個秩號之和（R)，查附表12進行判斷，該表左側為對子數(shù)，表身內部是較小秩號和，與上端縱標目之概率0.05,0.01相對應，其判斷標準是

　　R>R_0.05時P>0.05

　　R_0.05≥R>R_0.01時0.05≥P>0.01

　　P≤R_0.01時　P≤0.01

　　例10.3　請以表10.1資料用秩和檢驗處理之。

表10.3　豚鼠給藥前后灌流滴數(shù)及其秩號

　　68 　R=10

　　將表中10.1中用藥前后的數(shù)據(jù)求出差數(shù)，并按差數(shù)絕對值排隊，結果見表10.3第（5)欄。再編秩號，為計算方便，正、負秩號分列兩欄，見表10.3第（6)、（7)欄。

　　上例，n=12,∣R∣=10，查附表12得

　　R_0.05=14R_0.01=7

　　今R_0.05>R>R_0.01，故0.05>P>0.01，在概率0.05水平上拒絕H₀，接受H₁，即用藥前后的相差是顯著的，給藥后每分鐘灌流滴數(shù)比用藥前增多了。

　　附表12中只列有n≤25時的臨界值。當n值較大時亦可采用計算法。

　　計算法步驟：

　　在計算法時，對差數(shù)的排隊，編秩號及求秩號之和同查表法，不同的是求得秩號之和以后的算，所用公式是：

u_0.05=1.96u_0.01=2.58　(10.5)

　　式中n為原始資料中數(shù)據(jù)的對子數(shù)，R為正秩號之和或負秩號之和，為計算方便，通常取絕對值較小的秩號之和為r 。

　　本例，n=12，R=-10，代入得：

　　U_0.050.01，故0.05>P>0.01，在α=0.05水準上拒絕H₀，接受H₁，結論與查表法相同。

　　據(jù)研究，當n大于10時，上式算得的u近似正態(tài)分布，故計算法只用于n值較大時。

　　因本例資料接近正態(tài)分布，故曾用t檢驗的個別比較方法處理過，結果是：t=2.653　0.05>P>0.01，與秩和檢驗結論相同，但與符號檢驗結論不同（^χ2=2.083,P>0.05)，說明符號檢驗的檢驗效率比秩和與t檢驗都要低，比較粗糙，而秩和檢驗的效率與t檢驗較接近。

　　二、兩組資料的比較

　　此法又稱為wilcoxon氏兩樣本法。

　　處理時也可用查表法或計算法，今以例10.4分別說明之。

　　查表法步驟：

　　1．各自排隊，統(tǒng)一編秩號，即將兩組數(shù)據(jù)分別從小到大排列，但編秩號時要兩組統(tǒng)一進行，凡分屬于兩組的相等數(shù)據(jù)用平均秩號，如本例0.042共三個，取平均序號皆為8。

　　2．令較小樣本秩號之和為r ，例數(shù)為n_１。

　　3．計算R＇，公式為：

　　R＇=n₁(n₁+n₂+1)-r 　(10.6)

　　R＇是同一個樣本資料，當秩號倒排（即由大至小)時較小樣本秩號之和。

　　4．以R和R＇兩秩號之和中較小者與附表13中R的臨界值比較，以作出判斷，其標準仍是：

　　R>R_0.05時 　P>0.05

　　R_0.05≥R>R_0.01時 　0.05≥P>0.01

　　P≤R_0.01時　P≤0.01

　　例10.4　請以表10.2資料用本法處理之。

表10.4　九名健康人與八名鉛作業(yè)工人的尿鉛值（mg/L)

　　先將本表10.2中兩組數(shù)據(jù)各自排隊并統(tǒng)一編秩號，結果見表10.4。

　　較小樣本為鉛作業(yè)工人組，n₁=8，R=99，代入式（10.6)

　　R＇=8（8+9+1)-99=45

　　R與R＇兩者中以R＇較小，故以P＇值與附表13數(shù)值比較，得R_0.05=51，R_0.01=45；今R＇=R_0.01，故P=0.01，在α=0.05水平上拒絕H₀，接受H₁，差別顯著，故鉛作業(yè)工人尿鉛值比健康人高。

　　計算法步驟：

　　兩組資料比較時，也可用計算法。用計算法時，對兩組數(shù)據(jù)各自排隊、統(tǒng)一編秩號同查表法，不同的是求得秩號之和以后計算，公式是：

u_0.05=1.96u_0.01=2.58　(10.7)

　　為便于計算和前后符號一致，n₁作為較小樣本例數(shù)，R為較小樣本的秩和，n₂則為較大樣本的例數(shù)。

　　本例n₁=8，R=99，n₂=9代入公式得：

　　今∣u∣>u_0.01,故P<0.01，在α=0.01水準上拒絕H₀接受H₁，其結論同查表法，

　　據(jù)研究，當n₁、n₂都大于8時，算得的u近于正態(tài)分布，若例數(shù)太少，則以查表法更為精確。

　　本例如用t檢驗的團體比較處理，則t=3.169,P<0.01，二者結論一致，但與符號檢驗結論不同（χ²=2.930,P>0.05)同樣說明符號檢驗較粗糙，檢驗效率低，而秩和檢驗與t檢驗的結論較近。

　　三、兩組等級資料的比較

　　等級資料又稱為半計量資料，當兩組等級資料比較時，用秩和檢驗來比較其相差是否顯著比用χ²檢驗要恰當。兩組等級資料，通常例數(shù)都較多，故一般都用計算法，其步驟與兩組資料的秩和檢驗相似，不同的是要求各等級的平均秩號，為此，先要求得各等級的秩號范圍。今舉例10.5說明之。

　　1．求各等級的平均秩號。為此，先要求出各等級的秩號范圍，如等級“-”共18+8=26例，共秩號范圍自1～26。要注意的是各等級的秩號范圍必須緊相聯(lián)接。最后一組秩號范圍的上限一定等于兩組例數(shù)之和。求得各等級秩號范圍后，再求其下限和上限的平均，即可算得平均秩號，如等級“一”的平均秩號為（1+26)/2=13.5。余類推。

　　2．求出R及其n₁，為計算方便，把例數(shù)少的正常人組的秩號之和作為R其例數(shù)為n₁得R=308，n₁=20，n₁=32

　　3．代入式（10.7)得u值，即可作結論。

　　例10.5，今有20名正常人和32名鉛作業(yè)工人尿棕色素定性檢查結果如下表10.5，試問其相差是否顯著？

表10.5　20名正常人和32名鉛作業(yè)工人尿棕色素定性檢查結果

　　 n₁=20 　　n₂=32 　R=308

　　代入式（10.7)

　　u_0.01=2.58，今u>u_0.01，故P<0.01，在α=0.01水準上拒絕H₀，接受H₁。兩組相差顯著，鉛作業(yè)工人尿棕色素比正常人為高。

　　四、多組資料的比較

　　多組資料的比較也是從排秩號開始，但不是直接用秩和進行檢驗，有的書籍稱之為秩檢驗（rank test)，以示與秩和檢驗有別，其檢驗假設也較復雜：在處理完全隨機設計的資料時，H₀：F（X_１)＝F（X₂)=F（X₃)=……，即比較的各樣本所對應的各總體的分布函數(shù)相等，H₁：各總體的分布函數(shù)不相等或不全相等；在處理隨機單位組設計的資料時，H₀：P（χ_ij=r)=1/n，即內組各秩號r之概率相等，都是1/n(r=1，2，……，n)而H₁為：P=（χ_ij=r)≠1/n。

　　因不同實驗設計所得資料的處理也有別，故下面分別舉例說明之。

　�。ㄒ�)完全隨機設計所得資料的比較

　　用的方法是單因素多組秩檢驗，稱為Kruskal-Wallis 氏法，或H檢驗。其計算步驟如下。

　　1.各自排隊，統(tǒng)一編秩號。即將各組數(shù)據(jù)在本組內從小到大排隊，見表10.6各含量欄，再將各組數(shù)值一起考慮編出統(tǒng)一秩號，見表10.6各“秩號”欄，分屬不同組的相同數(shù)值用平均秩號；
2.求各組秩號之和R₁以及各組數(shù)n_1：
3.代入下式計算H值：

　　（10.8)

　　式中N為各組例數(shù)之和，Ri和ni為各組的秩號之和以及例數(shù)：

　　4．查表作結論

　　當比較的組數(shù)多于三組，或組數(shù)雖只有三組但每組例數(shù)大于5時，H值的分布近于自由度等于組數(shù)-1的χ²分布，故可用對應的χ²值作界值。當三組比較時每組例數(shù)均不超過5時，H值與χ²值有較大偏離，此時可查附表14，直接查得H_0.05和H_0.01。

　　例10.6　雄鼠20只隨機分為四組，第1、2組在皮膚上涂用放射性錫（S_n¹¹³)標記的三乙基硫酸錫，涂后將皮膚暴露于空氣中；第3、4組涂藥后用密閉小玻璃管套使皮膚與外界空氣隔開，三小時后殺死，測肝中放射物，結果如表10.6，試比較各組含量間有無顯著相差？

表10.6　白鼠皮膚涂藥后，肝中放射性S_n¹¹³的含量

　　各組資料各自排隊，統(tǒng)一編秩號，以及求各組的秩號之和R_i和例數(shù)n_i見表10.6

　　代入式（10.8)得

　　本例組數(shù)為4（>3)，查χ²值表，ν=4-1=3，得χ²_0.05,3=7.81，χ²_0.01,3=11.34，今H>χ²_0.01,3，故P<0.01，在α=0.01水準上拒絕H₀，接受H₁，即各組肝中放射性Sn¹¹³含量差別顯著。

　�。ǘ�)隨機單位組設計所得資料的比較

　　用的方法是雙因素多組秩檢驗，即Friedman氏法。

　　處理這種資料時可分成兩步，對兩個因素分別進行檢驗�，F(xiàn)用例10.7說明其計算步驟：

　　先比較四種防護服對脈搏的影響

　　1．將穿四種防護服的每一受試者的脈搏數(shù)從小到大編秩號，當數(shù)值相等時用平均秩號，見表10.7各秩號欄。

　　2．求各防護服組秩號之和Ri

　　3．代入式10.9求H值

 （10.9)

　　式中t（treatment)為處理組數(shù)，b(block)為單位組數(shù)。

　　4．查表作結論

　　當t>4或t=4且b>5或t=3且b>9時，H值的分布近于自由度ν=t-1時的χ²分布，故可查相應的χ²值與H值比較作出判斷：如t、b不能滿足上述條件，則所算得的H值與χ²分布有較大偏離，需查附表15作判斷。

　　例10.7　受試者5人，每人穿四種不同的防護服時的脈搏數(shù)如表10.7，問四種防護服對脈搏的影響有無顯著差別？又五個受試者的脈搏數(shù)有無顯著差別？

表10.7　比較穿四種防護服時的脈搏數(shù)（次/分)

　　t=4b=5

　　排隊、編秩號、求各比較組的R_i見表10.7所示。

　　將表10.7中各數(shù)代入式10.9，得

　　本例t=4，b=5查附表15，得H_0.05=7.80，今H>H_0.05，故P>0.05，在α=0.05水準上接受H₀，無顯著差別，故四種防護服對脈搏的影響無顯著差別。

　　再比較五名受試者的脈搏數(shù)：

　　將數(shù)據(jù)列出（同表10.7)，但秩號是按每種防護服中受試者脈搏的數(shù)值從小到大編定，然后求出各受試者秩號之和R_１，詳細見表10.8

表10.8　比較五名受試者的脈搏數(shù)

　　t=5b=4

　　將表10.8 所得各數(shù)據(jù)代入式10.9得

　　此處t>4,故查ν=5-1=4時的χ²值表，得：χ²_0.05,4=9.49，χ²_0.01,4=13.28，今χ²_0.05,42_0.01,4，故0.05>P>0.01，在α=0.05水準上拒絕H₀，接受H_1，差別顯著；即五名受試者脈搏數(shù)相差顯著，1號受試者最高，5號受試者最低。

　　五、多組資料間的兩兩比較

　　當多組間的差別顯著時，則需進一步判斷那些組之間的差別有顯著性，這個問題的解決方法與第八章第二節(jié)中的多個均數(shù)間的兩兩比較很相似，在例10.6四個實驗組涂放射性錫的例子中，結果為H>χ²_0.01,3，P<0.01，現(xiàn)以此為例，進一步作各組兩兩間比較，步驟如下：

　　1．將各組秩和從大到小依次排隊，并求得兩兩間的相差，見表10.9

　　2．計算標準誤，計算公式是：

（10.10)

　　式中σ為任意兩個秩和之差的標準誤，n為各組例數(shù)，a為處理數(shù)，此式要求各組例數(shù)相等，

　　3．查q值表定界限作結論

　　仍查方差分析時用的q值表，v→∝

　　各q值須與處理數(shù)相同的標準誤相乘，如處理數(shù)為2的q值要乘以處理數(shù)為2時的標準誤，2.77×6.77=18.75,3.64×6.77=24.64等，余類推。

　　例10.6資料兩兩間比較如下：

表10.9　每兩組秩和之間的相差及其顯著性

　　計算標準誤：n=5，用式10.10

　　查q值表，得：

　　兩兩比較后的結論見表10.9所示，結合起來看，結論是：涂濕藥的比涂干藥肝中放射性Sn¹¹³含量要高，涂濕藥中，密閉的比敞開的含量高。