第三節(jié)　正態(tài)分布和醫(yī)學正常值范圍的估計

　　一、正態(tài)分布

　�。ㄒ�)正態(tài)分布的圖形

　　將表18-1的110名20歲健康男大學生身高頻數(shù)分布繪成圖18-1中的（1)，可見高峰位于中部，左右兩側(cè)大致對稱。可以設(shè)想，如果抽樣觀察例數(shù)逐漸增多，組段不斷分細，就會逐漸形成一條高峰位于中央（均數(shù)所在處)、兩側(cè)完全對稱地降低、但永遠不與橫軸相交的鐘型曲線（圖18-1中的（3))，這條曲線近似于數(shù)學上的正態(tài)分布（normal distribution)曲線。

　　統(tǒng)計學家按其變化參數(shù)，推導出正態(tài)分布密度函數(shù)f（X)

　�。�∞＜X＜+∞公式（18.16)

　　式中μ為均數(shù)；σ為標準差；π為圓周率；е為自然對數(shù)的底，即2.71828。以上均為常數(shù)，僅X為變量。

　　為了應用方便，常將式（18.16)進行變量變換—u變換（即u=（X-μ)/σ)，u變換后，μ=0，σ=1，使原來的正態(tài)分布變換為標準正態(tài)分布（standard normal distribution)亦稱u分布，如圖18-2。

圖18-1 頻數(shù)分布逐漸接近正態(tài)分布示意

圖18-2 正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的面積與縱高

　　此時，式（ 18.16)化成

　　- ∞＜u＜+∞　　　　公式（18.17)

　　式中，φ（u)為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)，即縱軸高度。

　　根據(jù)X和u的不同取值，分別按式（18.16)和式（18.17)可以繪出正態(tài)分布和標準正態(tài)分布的圖形（圖18-2)。

　�。ǘ�)正態(tài)分布的特征

　　由式（18.16 )gn (18.17)可看出正態(tài)分布有下列特征：①正態(tài)曲線（normal curve)在橫軸上方均數(shù)處最高。②正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱。③正態(tài)分布兩個參數(shù)（parameter)，即均數(shù)μ和標準差σ；常用N（μ，σ)表示均數(shù)為μ、標準差為σ的正態(tài)分布；所以標準正態(tài)分布用N（0，1)表示。④正態(tài)曲線在±1σ處各有一人拐點。⑤正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律。

　　二、正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律

　　正態(tài)曲線下一定區(qū)間的面積可以通過對式（18.16)和式（18.17)積分求得。為了省去計算的麻煩，有人按式（18.17)編成了附表18-1“標準正態(tài)分布曲線下的面積”通過查表可求出正態(tài)曲線下某區(qū)間的面積，進而估計該區(qū)間的觀察例數(shù)占總例數(shù)的百分數(shù)或變量值落在該區(qū)間的概率。查表時應注意：①表中曲線下面積為自-∞到u的面積；②當μ，σ已知時，先根據(jù)u變換（即u=（X-μ)/σ)求得u值，再查表；③當μ，σ未知且樣本含量n足夠大時，常用樣本均數(shù)x和樣本標準差s分別代替μ和σ進行u變換[即u=(X-μ)/S]，求得u的估計值，再查表；④曲線下對稱于0的區(qū)間面積相等，如區(qū)間（-∞，-1.96)與區(qū)間（1.96，+∞)的面積相等；⑤曲線下橫軸上的總面積為100%或1。

　　下面三個區(qū)間的面積應用較多，要求記住，并結(jié)合圖18-3理解其意義。①標準正態(tài)分布時區(qū)間（-1，1)或正態(tài)分布時區(qū)間（μ-1σ，μ+1σ)的面積占總面積的68.27%；②標準正態(tài)分布時間（-1.96,1.96)或正態(tài)分布時區(qū)間（μ-1.96,μ+1.96)的面積占總面積的95.00%；③標準正態(tài)分布區(qū)間（-2.58,2.58)或正態(tài)分布時間區(qū)（μ-2.58,μ+2.58)的面積占總面積的99.00%。

圖18-3 正態(tài)與標準正態(tài)曲線及其面積分布

　　三、醫(yī)學正常值范圍的估計

　�。ㄒ�)正常值范圍（normal range)的意義

　　正常值是指正常人體或動物體的各種生理常數(shù)，正常人體液和排泄物中某種生理、生化指標或某種元素的含量，以及人體對各種試驗的正常反應值等。由于存在變異，各種數(shù)據(jù)不僅因人而異，而且同一個人還會隨機體內(nèi)外環(huán)境的改變而改變，因而需要確定其波動的范圍，即正常值范圍。

　　制定正常值范圍，①首先要確定一批樣本含量足夠在的“正常人”。所謂“正常人”不是指機體任何器官、組織的形態(tài)及機能都正常的人，而是指排除了影響所研究指標的疾病的有關(guān)因素的同質(zhì)人群。②根據(jù)指標的實際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值：若某種指標過高或過低均屬異常，需要確定正常值范圍的下限和上限，如白細胞計數(shù)；若某指標過高為異常，需確定上限，如尿鉛；若某指標過低為異常，需確定下限，如肺活量。③根據(jù)研究目的的和實用要求選定適當?shù)陌俜纸缰担�常�?0%、90%、95%或99%，其中最常用的是95%。④根據(jù)資料的分布特點，選用恰當?shù)慕缰涤嬎惴椒�，如正態(tài)分布資料用正態(tài)分布法；對數(shù)正態(tài)分布資料用對數(shù)正態(tài)分布法；偏態(tài)分布資料用百分位數(shù)法。

　�。ǘ�)正常值范圍估計

　　計算正常值百分界值的方法甚多，如正態(tài)分布法、對數(shù)正態(tài)分布法、正態(tài)概率紙法、百分位數(shù)法、曲線擬合法、容許區(qū)間法等�，F(xiàn)以95%正常值范圍為例，主要介紹以下三種。

　　1．正態(tài)分布法：適用于正誠或近似正態(tài)分布資料。

　　雙側(cè)界值：x±1.96s

　　單側(cè)上界：x+1.645s

　　單側(cè)下界：x-1.645s

　　2．對數(shù)正態(tài)分布法：適用于對數(shù)正態(tài)分布資料。

　　雙側(cè)界值：lg-1(xlgx±1.96slgx)

　　單側(cè)上界：lg-1（xlgx+1.645slgx)

　　單側(cè)下界：lg-1（xlgx-1.645slgx)

　　3．百分位數(shù)法：常用于偏態(tài)分布資料。

　　雙側(cè)界值：P2.5和P97.5

　　單側(cè)上界：P95

　　單側(cè)下界：P5

　　例18.13 試估計表18-1中110名20歲健康男大學生身高的95%正常值范圍。

　　該指標計算雙側(cè)界值

　　x±1.96s=172.73±1.96×4.09

　　該指標的95%正常值范圍為 164.71～180.75(cm)

　　例18.14 某年某市調(diào)查了200例正常成人血鉛含量（μg/100g)如下，試估計該市成人血鉛含量95%正常值范圍單側(cè)上界。

　　該資料為偏態(tài)分布，經(jīng)對數(shù)變換（即原始數(shù)據(jù)取對數(shù))后，整理成頻數(shù)表，見表18-5。從頻數(shù)分布看，近似正態(tài)分布，計算對數(shù)形式的均數(shù)與標準差，得：

　　xlgx=Σflgx/Σf=230.0/200=1.15

　　其95%正常值范圍的單側(cè)上界為lg-1xlgx+1.645slgx)=lg-11。5942=39(μg/100g)

　　即該市正常成人血鉛含量的95%正常值為39μg/100g以下。

　　例18.15 試用百分位數(shù)法估計例18.14資料的95%正常值的單側(cè)上界。

　　該資料不經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換時為偏態(tài)分布，也可用百分位數(shù)法估計。先整理成頻數(shù)表，見表18-6。

　　P95=L+i/f95(n×95%-ΣfL)=38+5/7(200×95%-189)=38.7(μg/100g)

表18-5 200名血鉛值對數(shù)變換后的頻數(shù)表及gx　slgx計算表

表18-6 200名血鉛值頻數(shù)表及P95計算表

附表18-1 標準正態(tài)分布曲線下的面積

[本表為自-∞到一u的面積Φ（-u),Φ(u)=1-Φ(-u)]