直線回歸

　　一、直線回歸方程的意義

　　計算出相關系數后，如果r顯著，且又需要進一步了解兩變量中一個變量依另一個變量而變動的規(guī)律時，則可進行回歸分析。

　　“回歸”是個借用已久因而相沿成習的名稱。若某一變量（Y)隨另一變量（X)的變動而變動，則稱X為自變量，Y為應變量。這種關系在數學上被稱為Y是X的函數，但在醫(yī)學領域里，自變量與應變量的關系和數學上的函數關系有所不同。例如成年人年齡和血壓的關系，通過大量調查，看出平均收縮壓隨年齡的增長而增高，并且呈直線趨，但各點并非恰好都在直線上。為強調這一區(qū)別，統計上稱這是血壓在年齡上的回歸。

　　直線回歸分析的任務就是建立一個描述應變量依自變量而變化的直線方程，并要求各點與該直線縱向距離的平方和為最小。按這個要求計算回歸方程的方法稱為最小平方法或最小二乘法。所建立的方程是一個二元一次方程式，其標準形式是：

=a+bX(9.5)

　　式（9.4)為由X推算得來的Y值，即Y的估計值：a稱為截距，它是當X=0時的值，即回歸直線與縱軸的交點：b稱為回歸系數，它是回歸直線的斜率，其含意是當X每增加一個單位時，相應增（或減)b個單位。當a與b求得后，直線回歸方程就確定了。

　　二、直線回歸方程的計算法

　　仍以表9.1資料為例，根據前面的相關分析以及醫(yī)學上有關凝血的機理，可知凝血時間依凝血酶濃度而異，且有密切的關系。因此可進一步作由凝血酶濃度（X)推算凝血時間（Y)的回歸方程。求直線回歸方程的步驟如下：

　　1．列回歸計算表（見表9.1)，計算∑X、∑Y、∑X²、∑Y²、∑XY。

　　2．計算X、Y、∑(X-X)²、∑(X－X)(Y-Y)

　　X=∑X/n=15.1/15=1.01

　　Y=∑Y/n=222/15=14.80

　　∑(X-X)²=∑X²-(∑X)²/n=0.2093

　　∑(X-X)(Y-Y)=∑XY-∑X·∑Y/n=-1.7800

　　3．計算回歸系數b和截距a。b和a兩值計算公式均是根據最小二乘法的原理推算出來的，其公式如下：

（9.5)

　　a=Y-bX　　　　　　　 　　　　　　 （9.6)

　　本例b=-1.7800/0.2093=-8.5045

　　a=14.80-(-8.5045)(1.01)=23.3895

　　4．列出回歸方程，繪制回歸直線，將求得的b和a的值代入到式（9.4)，即得所求的回歸方程：

=23.3895-8.504X

　　在凝血酶濃度的實測范圍內，即X=0.8到X=1.2之間，任選兩個X值（一般選相距較遠且直角坐標系上容易讀出者)，代入此回歸方程，即得相應的兩個值。例如：

　　取　X₁=0.8，則₁=23.3895-8.5045×0.8=16.59,

　　X₂=1.2　則₂=23.3895-8.5045×1.2=13.18。

　　連接（0.8、16.59)和（1.2、13.18)兩點所得直線，即為由凝血酶濃度推算凝血時間的回歸直線（見圖9.9)。須注意回歸直線必通過（χ，y )點，并穿過觀察點群，直線上下各有一些點散布著，否則計算有誤。

　　三、直線回歸方程的假設檢驗

　�。ㄒ�)樣本回歸系數的假設檢驗

　　根據例9.1資料求得的是樣本回歸系數b，有抽樣誤差的，需作假設檢驗，檢驗其是否是從回歸系數為0的假設總體（即β=0)中隨機抽得的，也就是檢驗b與0的差別有無顯著性。如果差別有顯著性，可認為X與Y間有直線回歸存在。

　　樣本回歸系數的假設檢驗亦用t檢驗。

　　H₀：β=0即Y的變化與X無關；

　　H₁：β≠0。

　　計算公式為：

 　 （9.7)

　　分母S_b是樣本回歸系數b的標準誤，計算公式為：

　　　　　　　 　 　 （9.8)

　　分子Sy.x為各觀察值Y距回歸線的標準差，即當X的影響被扣去以后Y方面的變異，可按下式計算：

　　　　　　　 （9.9)

　　式中∑（Y-)²為估計誤差平方和，常用下式計算：

（9.10)

　　根據數理統計的理論，同一批資料計算所得t_r與t_b是相同的，即t_r=t_b。處理資料時可檢驗相關顯著性代替其回歸顯著性。

　　由于例9.1資料的r在α=0.01水準上顯著，故可判斷樣本回歸系數-8.5045與0的相差有顯著性，說明存在凝血時間隨凝血酶濃度變化而變化的回歸關系。

　　（二)兩樣本回歸系數相差的假設檢驗

　　若有兩個可以比較的樣本，它們的回歸系數分別為b₁與b₂，經檢驗都為顯著，回歸系數的標準誤分別為S_b1和S_b2。b₁與b₂相差的顯著性也可用t檢驗法檢驗，其計算公式為：

（9.11)

　　ν=n₁+n₂-4

　　式（9.11)中S_b1-b2為兩樣本回歸系數之差的標準誤，其計算公式為：

　(9.12)

　　式（9.12)中S²_C為兩樣本回歸系數的合并方差，其計算公式為：　

　　 　(9.13)

　　式（9.13)中∑（Y-)²為估計誤差平方和，即觀察值Y與估計值的差數（Y-)的平方之和。其計算公式見公式（9.10)，

　　現以實例說明兩樣本回歸系數t檢驗的步驟。

　　例9.2　表9.2資料為同一批白蛋白于38℃與25℃條件下，不同時間（分)的凝固百分比，問由此而得的兩樣本回歸系數相差是否顯著？

表9.2　白蛋白在兩種溫度下各不同時間的凝固百分比

　　本例圖示見圖9.10，本例計算見圖下：

圖9.10　白蛋白在兩種溫度下各不相同時間的凝固百分比

　　r₁=0.998(P<0.01) b₁=3.389 ∑(Y₁-₁)²=5.7927n₁=6

　　r₂=0.996(P<0.01) b₂=4.424∑(Y₂-₂)²=24.5857n₂=6

　　∑(X₁-X₁)²=∑(X_２-X_２)²=157.5000

　　1．H₀：β₁-β₂=0

　　H₁：β₁-β₂≠0

　　α=0.01

　　2．計算t值：

　　3．查t值表作結論：以ν=6+6-4=8查t值表，得

　　t_0.01,8=2.355,今∣t∣>t_0.01,8,故P<0.01。

　　4．判斷結果：按α=0.01水準，拒絕H₀，接受H₁，故兩個回歸系數差別顯著。說明兩條回歸直線的斜率不同，兩條回歸直線中X對Y的影響規(guī)律不一致。現b₂>b₁，說明隨著時間的增加，蛋白質在38℃時凝固百分比的增加量比在25℃時高。